Apuntes de Clases: Funciones

¿Qué es una Función?

Definición inicial

Una función es, en esencia, una regla de asignación. Es una forma de conectar elementos de un conjunto de inicio (al que llamaremos A) con elementos de un conjunto de llegada (al que llamaremos B), pero con una regla muy estricta: a cada elemento del conjunto A le corresponde exactamente un elemento del conjunto B.

Explicación didáctica

Imagina una máquina expendedora. El conjunto A es el conjunto de todos los botones que puedes presionar (ej: {1, 2, 3}). El conjunto B es el conjunto de todos los productos que la máquina ofrece (ej: {a, b, c, d}).

Una relación es una “función” si cumple dos condiciones:

1. Todo elemento de A está conectado: Si presionas cualquier botón de A, la máquina debe hacer algo. No puede haber un botón “muerto” o sin asignar.
2. La conexión es única: Si presionas un botón (ej: ‘1’), la máquina te da un solo producto [ej: ‘a’]. No puede darte dos productos a la vez (ej: ‘a’ y ‘b’) por presionar un solo botón.

Lo que sí puede pasar es que dos botones distintos (ej: ‘1’ y ‘2’) te den el mismo producto (ej: ‘a’). Eso sigue siendo una función válida.

Definición formal

Sean A y B conjuntos no vacíos. Una relación $f$ de A en B es una función si para todo elemento $a \in A$ existe un único elemento $b \in B$ tal que el par $(a,b)$ pertenece a la relación $f$.

Esta relación se denota comúnmente como $f: A \rightarrow B$. Para un elemento $a \in A$, en lugar de escribir $(a,b) \in f$, usamos la notación más familiar $f(a) = b$. En esta notación, $b$ se llama la imagen de $a$, y $a$ se llama una preimagen de $b$.

Ejemplo resuelto

Dados los conjuntos $A = \{1, 2, 3\}$ y $B = \{a, b, c, d\}$, analizamos tres relaciones para ver si son funciones:

1. $f_1 = \{(3,c), (1,a), (2,b), (3,d)\}$:
   • No es función. Falla la regla de la “unicidad”. El elemento $3$ del conjunto A tiene asignadas dos imágenes distintas en B [la $c$ y la $d$].
2. $f_2 = \{(1,a), (3,b)\}$:
   • No es función. Falla la regla de “para todo elemento”. El elemento $2$ del conjunto A no tiene ninguna imagen asignada en B.
3. $f_3 = \{(1,c), (3,c), (2,a)\}$:
   • Sí es función. Cumple ambas reglas. Cada elemento de A ($1, 2, 3$) tiene una asignación, y cada uno tiene solo una. No importa que $1$ y $3$ compartan la misma imagen $c$; esto está permitido.

Resumen rápido

Una función $f: A \rightarrow B$ es una regla que toma cada elemento de A y le asigna, sin excepción, exactamente un elemento de B. No puede dejar elementos de A “olvidados” (como $f_2$) ni puede ser “indecisa” dándole dos salidas a una entrada (como $f_1$).

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Funciones Parciales

Definición inicial

Una función parcial es una versión más relajada de la función. Sigue exigiendo que cada entrada tenga como máximo una salida, pero “permite” que algunas entradas no tengan ninguna salida asignada.

Explicación didáctica

Volvamos al ejemplo $f_2 = \{(1,a), (3,b)\}$. Dijimos que no era una función (total) porque el botón ‘2’ estaba “muerto” y no hacía nada. Sin embargo, esta relación sí es una función parcial.

La única regla estricta que mantiene la función parcial es la de unicidad: si un botón funciona (como el ‘1’ y el ‘3’), debe entregar un único producto. Lo que $f_1 = \{(3,c), (3,d)\}$ hacía (dar dos productos por un botón) sigue estando prohibido.

Definición formal

Una relación $f \subseteq A \times B$ es una función parcial si para todo elemento $a \in A$, si existe un elemento $b \in B$ tal que $(a,b) \in f$, entonces ese $b$ es único.

En una función parcial, definimos el dominio de $f$, $dom(f)$, como el subconjunto de A que sí tiene una imagen asignada. La imagen de $f$, $img(f)$, sigue siendo el subconjunto de B que es alcanzado por alguna entrada.

Una función parcial $f$ es una función (total) si y solo si su dominio es igual a todo el conjunto de entrada, es decir, $dom(f) = A$.

Ejemplo resuelto

Tomemos la función parcial $f_2 = \{(1,a), (3,b)\}$ con $A=\{1,2,3\}$ y $B=\{a,b,c,d\}$.

• Esta es una función parcial válida porque las entradas que sí están (1 y 3) tienen una única salida.
• El dominio de $f_2$ es $dom(f_2) = \{1, 3\}$, ya que el ‘2’ no está incluido.
• La imagen de $f_2$ es $img(f_2) = \{a, b\}$.

Como $dom(f_2) \neq A$, $f_2$ es una función parcial pero no una función total.

Resumen rápido

Una función parcial permite que algunas entradas no tengan salida, pero si una entrada tiene una salida, esta debe ser única. Se convierte en una función “total” (la que usualmente llamamos solo “función”) cuando se asegura de que todas las entradas tengan una salida.

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Secuencias como Funciones

Definición inicial

Una secuencia, como una lista infinita de números (por ejemplo, los decimales de Pi o la sucesión de Fibonacci), puede entenderse simplemente como un tipo especial de función.

Explicación didáctica

Piensa en la sucesión de Fibonacci: $S_2 = 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, ...$. Cuando preguntas “¿Cuál es el quinto término?”, estás pidiendo el valor en la posición 5 (que es 3, si empezamos a contar desde 0).

Lo que estamos haciendo es mapear una posición (un número natural) a un valor (un número de la secuencia).

• Posición 0 $\rightarrow$ Valor 0
• Posición 1 $\rightarrow$ Valor 1
• Posición 2 $\rightarrow$ Valor 1
• Posición 3 $\rightarrow$ Valor 2

Esto es exactamente una función: la entrada es la posición (del conjunto $\mathbb{N}$) y la salida es el valor de la secuencia.

Definición formal

Una secuencia $S$ sobre un conjunto $A$ es una función $S: \mathbb{N} \rightarrow A$, donde $\mathbb{N}$ es el conjunto de los números naturales [0, 1, 2, …].

Ejemplo resuelto

• La secuencia $S_1 = 1, -\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, -\frac{1}{4}, ...$ se puede definir formalmente como la función $S_1: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{Q}$ dada por la regla $S_1(n) = \frac{(-1)^n}{n+1}$ (asumiendo que $n$ empieza en 0).
• La secuencia de Fibonacci $S_2 = 0, 1, 1, 2, ...$ es una función $S_2: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$.
• Los dígitos de Pi $S_3 = 3, 1, 4, 1, 5, ...$ son una función $S_3: \mathbb{N} \rightarrow \{0, 1, ..., 9\}$.

Resumen rápido

Las secuencias son funciones donde el conjunto de entrada (dominio) es siempre el conjunto de los números naturales $\mathbb{N}$, que usamos para representar las “posiciones” en la lista.

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Tipos de Funciones (Clasificación)

Una vez que sabemos que algo es una función, podemos clasificarla según cómo conecta las entradas con las salidas. Las tres clasificaciones principales son inyectiva, sobreyectiva y biyectiva.

Definición inicial

• Inyectiva: Nunca dos entradas diferentes van a parar a la misma salida.
• Sobreyectiva: Se “cubren” todas las salidas posibles en el conjunto de llegada.
• Biyectiva: Ambas cosas son ciertas. Es una conexión “perfecta” uno-a-uno.

Explicación didáctica

Usemos analogías para entender esto:

• Inyectiva (o “1-a-1”):
  • Analogía: Piensa en A como un conjunto de estudiantes y B como un conjunto de números de carnet. Una función inyectiva garantiza que no existen dos estudiantes con el mismo número de carnet. Cada estudiante tiene un número único. (Ojo: esto no impide que sobran números de carnet sin asignar en el conjunto B).
• Sobreyectiva (o “sobre”):
  • Analogía: Piensa en A como un grupo de llaves y B como un conjunto de puertas en un edificio. Una función sobreyectiva garantiza que toda puerta puede ser abierta por al menos una llave de A. No queda ninguna puerta “huérfana” sin llave. (Ojo: esto sí permite que varias llaves distintas abran la misma puerta).
• Biyectiva (1-a-1 y sobre):
  • Analogía: Es la situación perfecta. Pensemos en un baile de graduación con A (estudiantes) y B (asientos asignados). Una función biyectiva significa que cada estudiante tiene un asiento, y cada asiento está ocupado por un solo estudiante. No sobran estudiantes de pie (sobreyectiva) y no hay dos estudiantes peleando por el mismo asiento (inyectiva).

Definición formal

Sea $f: A \rightarrow B$ una función:

1. $f$ es inyectiva (o 1-a-1) si no existen dos elementos distintos en A que tengan la misma imagen en B.
   • Formalmente: $\forall a_1, a_2 \in A, [f(a_1) = f(a_2) \implies a_1 = a_2]$.
2. $f$ es sobreyectiva (o sobre) si todo elemento en B tiene al menos una preimagen en A.
   • Formalmente: $\forall b \in B, \exists a \in A \text{ tal que } f(a) = b$. Esto es equivalente a decir que la imagen de la función es igual al conjunto de llegada: $img(f) = B$.
3. $f$ es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva al mismo tiempo.

Ejemplo resuelto

• Recordemos $A=\{1,2,3\}$, $B=\{a,b,c,d\}$ y la función $f_3 = \{(1,c), (3,c), (2,a)\}$.
  • ¿Inyectiva? No. $f_3(1) = c$ y $f_3(3) = c$. Dos entradas diferentes (1 y 3) van a la misma salida (c).
  • ¿Sobreyectiva? No. Los elementos $b$ y $d$ del conjunto B nunca son alcanzados por ninguna entrada.
• Consideremos $A'=\{1,2,3\}$ y $B'=\{x,y,z\}$ con la función $f_4 = \{(1,y), (2,z), (3,x)\}$.
  • ¿Inyectiva? Sí. Cada entrada va a una salida única ($y, z, x$). Ninguna se repite.
  • ¿Sobreyectiva? Sí. Todos los elementos de $B'$ ($x, y, z$) son alcanzados al menos una vez.
  • Como $f_4$ es inyectiva y sobreyectiva, es biyectiva.

Resumen rápido

Inyectiva significa “no compartir salidas”. Sobreyectiva significa “cubrir todas las salidas”. Biyectiva significa ambas: una correspondencia perfecta y única entre todas las entradas y todas las salidas.

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Operaciones con Funciones

Definición inicial

Las funciones son relaciones, por lo que podemos realizar operaciones con ellas, como “invertirlas” (darles la vuelta) o “componerlas” (aplicar una después de la otra).

Explicación didáctica

• Inversa ($f^{-1}$):
  • Si una función $f$ es una máquina que te dice $f(\text{Entrada}) = \text{Salida}$, la relación inversa $f^{-1}$ es la máquina que te dice $f^{-1}(\text{Salida}) = \text{Entrada}$. Simplemente invierte todos los pares ordenados.
  • Problema: La inversa $f^{-1}$ no siempre es una función. Si $f(1)=c$ y $f(3)=c$ (como en $f_3$), la inversa $f^{-1}$ tendría $f^{-1}(c)=1$ y $f^{-1}(c)=3$. La entrada ‘c’ tendría dos salidas, ¡lo cual viola la definición de función!.
• Composición ($f_1 \circ f_2$):
  • Es como un proceso de ensamblaje en dos pasos. Tienes $f_1: A \rightarrow B$ y $f_2: B \rightarrow C$.
  • La composición $f_1 \circ f_2$ es la “caja negra” que hace todo el proceso de una. Toma una materia prima de A, $f_1$ la procesa y entrega un producto intermedio de B, y luego $f_2$ toma ese producto de B y entrega el producto final C.
  • (Nota: La notación $f_1 \circ f_2$ en el documento significa $f_2(f_1[a](cite_start))$, es decir, $f_1$ se aplica primero ).

Definición formal

• Inversa: Dada una función $f: A \rightarrow B$, su relación inversa $f^{-1}$ de B en A se define como $f^{-1} = \{(b,a) | (a,b) \in f\}$.
• Composición: Dadas $f_1: A \rightarrow B$ y $f_2: B \rightarrow C$, la composición $f_1 \circ f_2$ es una función de A en C. El par $(a,c) \in f_1 \circ f_2$ si y solo si $f_2(f_1(a)) = c$.

Teoremas y Caracterización

La verdadera utilidad de las clasificaciones (inyectiva, etc.) aparece cuando las combinamos con las operaciones:

1. Una función $f$ es inyectiva si y solo si su inversa $f^{-1}$ es una función parcial. (La inversa $f^{-1}$ no es “indecisa”, aunque puede tener entradas “muertas”).
2. Una función $f$ es biyectiva si y solo si su inversa $f^{-1}$ es una función (total). (Esta es la única forma de que $f^{-1}$ sea una función completa y bien definida).
3. Si $f_1$ y $f_2$ son inyectivas, entonces la composición $f_1 \circ f_2$ también es inyectiva.
4. Si $f_1$ y $f_2$ son sobreyectivas, entonces la composición $f_1 \circ f_2$ también es sobreyectiva.

Resumen rápido

La composición ($f_1 \circ f_2$) es aplicar $f_1$ y luego $f_2$. La inversa ($f^{-1}$) es “deshacer” $f$ invirtiendo sus pares. Esta inversa solo se comporta como una función total y válida si la función original $f$ era biyectiva.

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Principio del Palomar

Definición inicial

El Principio del Palomar es una idea increíblemente simple con consecuencias muy potentes. Dice que si tienes más “palomas” que “palomares” (cajones), es inevitable que al menos un palomar termine con más de una paloma.

Explicación didáctica

Si tienes 10 palomas (N=10) pero solo 9 palomares (M=9), no hay forma de que cada paloma tenga su propio palomar. Estás forzado a poner al menos dos palomas en el mismo palomar.

En el lenguaje de funciones, esto es una afirmación sobre la inyectividad. Si A es el conjunto de palomas y B es el de palomares, estamos intentando crear una función $f: A \rightarrow B$. Si el conjunto de entrada A es más grande que el de salida B ($|A| > |B|$), el principio dice que la función no puede ser inyectiva.

Definición formal

Si $f: A \rightarrow B$ es una función y la cardinalidad (tamaño) de A es estrictamente mayor que la cardinalidad de B ($|A| > |B|$), entonces $f$ no puede ser inyectiva.

Esto implica que, por obligación, deben existir al menos dos elementos $a_1, a_2 \in A$ (con $a_1 \neq a_2$) tales que $f(a_1) = f(a_2)$. (Es decir, dos palomas distintas deben ir al mismo palomar).

Ejemplo resuelto

Problema: Si se seleccionan 5 números distintos del conjunto $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$, demuestra que al menos un par de los números seleccionados debe sumar 9.

Solución usando el principio:

1. Identificar Palomas (A): Las “palomas” son los 5 números que seleccionamos.
   • $A = \{a_1, a_2, a_3, a_4, a_5\}$.
   • $|A| = 5$.
2. Identificar Palomares (B): Los “palomares” son los contenedores a los que asignaremos los números. Creamos los palomares agrupando los números que suman 9.
   • $B = \{\{1,8\}, \{2,7\}, \{3,6\}, \{4,5\}\}$.
   • $|B| = 4$.
3. Definir la Función (f): Definimos la función $f$ como la regla que toma a cada “paloma” (nuestro número $a_i$) y la asigna a su “palomar” [el conjunto en B que la contiene]. Por ejemplo, si seleccionamos el 7, $f(7) = \{2,7\}$.
4. Aplicar el Principio:
   • Tenemos $|A| = 5$ palomas y $|B| = 4$ palomares.
   • Como $|A| > |B|$, el Principio del Palomar nos asegura que $f$ no es inyectiva.
   • Que $f$ no sea inyectiva significa que al menos dos palomas (dos números, $a_i$ y $a_j$) deben ser asignadas al mismo palomar.
   • Como los 5 números seleccionados eran distintos, la única forma de que $a_i$ y $a_j$ caigan en el mismo palomar (ej: $\{2,7\}$) es que uno sea el $2$ y el otro sea el $7$. Por lo tanto, hemos seleccionado un par que suma 9.

Resumen rápido

El Principio del Palomar es una forma elegante de probar que si un conjunto de entrada es más grande que el de salida, la función no puede ser inyectiva (debe haber “colisiones”). Es una herramienta poderosa para demostrar la existencia de duplicados o propiedades compartidas.